Propoziţii categorice (III.4 -- inversa şi contrapusa)
Am văzut aşadar cum se convertesc sau se obvertesc propoziţiile categorice. La ce bun!? După cum spuneam, vom vedea că unele propoziţii nu ne pot spune nimic într-o anumită formă. Aşa că trebuie să le „modelăm”, obţinând propoziţii cu aceeaşi valoare de adevăr – practic, forme diferite ale aceleiaşi propoziţii. Iar singurele căi de modelare sunt cele două pe care le-am discutat mai sus. În plus, putem face următorul lucru: convertim o obversă sau obvertim o conversă. Şi asta până la forma care ne este utilă pentru silogismul cu care lucrăm sau de la care nu mai putem face nicio operaţiune. Altfel spus, putem alterna obversiunea şi conversiunea până când ajungem la o formă a propoziţiei care să ne permită să operăm cu ea într-o inferenţă mediată.
Dacă ne gândim la înlănţuirea de inferenţe imediate, observăm imediat că ele trebuie alternate. Dacă am converti conversa sau am obverti obversa am ajunge (exceptând cazul conversiei prin accident, în care ne întoarcem – după un pas suplimentar – la aceeaşi concluzie) la premisa de plecare, ceea ce nu ne ajută cu nimic. De aceea obvertim o conversă şi convertim o obversă. Bineînţeles, nu putem obţine o infinitate de variante formale ale propoziţiei. După cum vedem din tabelul de mai jos, există în fiecare caz o formă (la care ajungem mai devreme sau mai târziu) de la care nu mai putem înainta printr-o inferenţă imediată. Mai exact, vom ajunge la o particulară negativă care trebuie convertită, ceea ce am arătat mai sus că e imposibil.
Pe lângă conversa obversei şi obversa conversei, mai vorbim de „inverse” şi „contrapuse”. O propoziţie „inversă” este cea în care subiectul şi predicatul se află pe aceleaşi poziţii ca în premisa de plecare, dar sunt negate. Uneori este numită „inversă totală”, pentru a fi deosebită de „inversa parţială”, în care numai subiectul este negat. Numai propoziţiile universale au inverse, din simplul motiv că cele particulare nu pot asigura un şir atât de mare de transformări pentru ca subiectul negat să ajungă în poziţia iniţială. În plus, trebui să mai observăm că inversele sunt şi de cantitate schimbată. Sunt "căzute" în particular, din cauza apariţiei inevitabile a convertirii prin accident.
O propoziţie „contrapusă” este cea în care subiectul şi predicatul au locurile schimbate şi sunt negate. La fel, vorbim despre „contrapusă totală” pentru a o deosebi de „contrapusa parţială”, în care numai predicatul (în rol de subiect) este negat. Singurul tip de propoziţie fără contrapusă este SiP, deoarece şirul ei de transformări se opreşte întotdeauna după prima obvertire, ceea ce face ca predicatul negat să nu poată ajunge niciodată în rol de subiect. (Pentru aceasta ar fi necesară o convertire a unei obverse; tehnic, contrapusa parţială este „conversa obversei”, or, dat fiind că în cazul particularei afirmative orice obversă marchează capătul şirului de transformări, nu putem vorbi de o „conversă” a acestui capăt.) De asemenea, se observă că universala afirmativă are contrapuse universale, în timp ce negativele -- universală şi particulară -- au contrapuse particulare. Explicaţia este simplă. În cazul particularei negative, este evident că nu se poate ajunge la o universală. În cazul universalei negative, pentru a aduce predicatul negat pe poziţia de subiect trebuie să pornim cu o obversiune, care ne obligă apoi la o convertire prin accident. Iată mai jos, „detaşate”, inversele şi contrapusele.
Aceste forme nu trebuie să fie memorate! Odată cunoscută regula distribuţiei, presupunând că s-a înţeles exact modul în care noţiunile unei propoziţii categorice pot sta în relaţie, nu mai avem nevoie decât de un creion şi o hârtie pentru a "produce" toate formele unei propoziţii. Data viitoare vorbim despre silogism, sau materia primă a jucăriilor în căutarea cărora am purces.
Dacă ne gândim la înlănţuirea de inferenţe imediate, observăm imediat că ele trebuie alternate. Dacă am converti conversa sau am obverti obversa am ajunge (exceptând cazul conversiei prin accident, în care ne întoarcem – după un pas suplimentar – la aceeaşi concluzie) la premisa de plecare, ceea ce nu ne ajută cu nimic. De aceea obvertim o conversă şi convertim o obversă. Bineînţeles, nu putem obţine o infinitate de variante formale ale propoziţiei. După cum vedem din tabelul de mai jos, există în fiecare caz o formă (la care ajungem mai devreme sau mai târziu) de la care nu mai putem înainta printr-o inferenţă imediată. Mai exact, vom ajunge la o particulară negativă care trebuie convertită, ceea ce am arătat mai sus că e imposibil.
Pe lângă conversa obversei şi obversa conversei, mai vorbim de „inverse” şi „contrapuse”. O propoziţie „inversă” este cea în care subiectul şi predicatul se află pe aceleaşi poziţii ca în premisa de plecare, dar sunt negate. Uneori este numită „inversă totală”, pentru a fi deosebită de „inversa parţială”, în care numai subiectul este negat. Numai propoziţiile universale au inverse, din simplul motiv că cele particulare nu pot asigura un şir atât de mare de transformări pentru ca subiectul negat să ajungă în poziţia iniţială. În plus, trebui să mai observăm că inversele sunt şi de cantitate schimbată. Sunt "căzute" în particular, din cauza apariţiei inevitabile a convertirii prin accident.
O propoziţie „contrapusă” este cea în care subiectul şi predicatul au locurile schimbate şi sunt negate. La fel, vorbim despre „contrapusă totală” pentru a o deosebi de „contrapusa parţială”, în care numai predicatul (în rol de subiect) este negat. Singurul tip de propoziţie fără contrapusă este SiP, deoarece şirul ei de transformări se opreşte întotdeauna după prima obvertire, ceea ce face ca predicatul negat să nu poată ajunge niciodată în rol de subiect. (Pentru aceasta ar fi necesară o convertire a unei obverse; tehnic, contrapusa parţială este „conversa obversei”, or, dat fiind că în cazul particularei afirmative orice obversă marchează capătul şirului de transformări, nu putem vorbi de o „conversă” a acestui capăt.) De asemenea, se observă că universala afirmativă are contrapuse universale, în timp ce negativele -- universală şi particulară -- au contrapuse particulare. Explicaţia este simplă. În cazul particularei negative, este evident că nu se poate ajunge la o universală. În cazul universalei negative, pentru a aduce predicatul negat pe poziţia de subiect trebuie să pornim cu o obversiune, care ne obligă apoi la o convertire prin accident. Iată mai jos, „detaşate”, inversele şi contrapusele.
Aceste forme nu trebuie să fie memorate! Odată cunoscută regula distribuţiei, presupunând că s-a înţeles exact modul în care noţiunile unei propoziţii categorice pot sta în relaţie, nu mai avem nevoie decât de un creion şi o hârtie pentru a "produce" toate formele unei propoziţii. Data viitoare vorbim despre silogism, sau materia primă a jucăriilor în căutarea cărora am purces.
Propoziţii categorice (III.3 -- obversiunea)
A doua modalitate de trecere de la o propoziţie la alta este ceva mai complicată. De data aceasta nu mai schimbăm locul termenilor, dar schimbăm obligatoriu calitatea şi negăm predicatul. Ceea ce nu putem schimba este însă cantitatea. Să le luăm pe rând. De ce nu mai schimbăm locul termenilor? Simplu: tot ce putem obţine printr-o astfel de schimbare a fost arătat mai sus: conversiuni. Dacă încercăm alte scheme (schimbarea locului cu negarea subiectului sau a predicatului), vom avea probleme atât cu legea distribuţiei, cât şi cu obiectul relaţiei, care nu poate fi schimbat, pentru că ne „strică” valoarea de adevăr, şi în acest caz inferenţa noastră este inutilă!
Schimbăm obligatoriu calitatea. De ce? Motivul are legătură şi cu ultima modificare – negarea predicatului. Am văzut că schimbul de calitate ne deplasează obiectul relaţiei. Ei bine, prin negarea predicatului acest lucru este anihilat. Să încercăm un exemplu. În luăm pe cel mai simplu, al universalei afirmative. „Toate ciupercile sunt comestibile.” Negăm predicatul şi observăm că vorbim de lucruri necomestibile. Schimbăm şi calitatea şi observăm că vorbim despre un alt obiect al relaţiei, şi anume ciupercile care nu sunt comestibile. Deci nu avem nicio contradicţie. Putem spune, fără teamă de a greşi, că dacă enunţul de la care am pornit este adevărat, atunci enunţul „Nicio ciupercă nu este necomestibilă” este şi el adevărat.
(Dacă tot suntem la motive, cel de mai sus este şi motivul pentru care negăm predicatul, şi nu subiectul, căci negarea subiectului nu schimbă obiectul relaţiei, ci elementul ei – obţinem doar „apolitici”, să zicem, în loc de „politicieni”; ulterior, prin schimbarea calităţii, ajungem la aceeaşi contradicţie din cazul conversiunii, adică avem schimbate obiectul – plus un element –, ceea ce nu ne serveşte la nimic pe linie deductivă.)
Aceste modificări constituie o obversiune. Adică o inferenţă prin care, pornind de la o propoziţie categorică oarecare, obţinem în concluzie o propoziţie cu aceeaşi cantitate, calitate diferită şi predicat negat. Cele două sunt echivalente din punctul de vedere al valorii de adevăr. Partea bună în cazul obversiunii este că nu trebuie să ne mai batem capul cu legea distribuţiei. De ce? Dat fiind că nu schimbăm cantitatea, subiectul va avea aceeaşi distribuţie în premisă şi în concluzie. Problemele apar însă din cauza schimbării calităţii. Dacă trecem de la o propoziţie negativă la una afirmativă, nu avem nicio problemă: predicatul a fost distribuit în premisă, deci nu ne interesează distribuţia lui în concluzie. Însă dacă trecem de la o propoziţie afirmativă la una negativă, predicatul premisei este nedistribuit, deci trebuie să vedem ce se întâmplă cu predicatul concluziei. El nu mai este acelaşi cu cel din premisă, în sensul că, dacă primul se referea la sfera elementelor P, cel de-al doilea trimite în afara acestei sfere. Ne amintim din discuţia despre distribuţie că predicatul negativelor este distribuit întrucât face trimitere la întreaga sferă a lui P. Ei bine, în cazul nostru predicatul concluziei neagă ceva despre întreaga sferă a lui non-P, adică despre întreaga sferă a unui alt termen. Dat fiind că acest nou termen nu apărea în premisă, nu putem aplica – deci nici încălca – legea distribuţiei. (Nu trebuie să ne deruteze negarea predicatului. Aceasta nu schimbă distribuţia termenului, ci termenul însuşi! Adică obţinem non-A în loc de A, dar distribuţia pentru non-A rămâne aceeaşi ca şi cea din cazul lui A, pentru simplul motiv că predicatul este non-A.)
Iată deci obversiunile:
Încă o observaţie (pe lângă aceea că la SoP i-a scăpat degetu' lui Liviu şi a rămas predicatu' mic): dat fiind că toate propoziţiile au obversă (deci nu trebuie să recurgem la „accidente”), cantitatea nu se schimbă niciodată. (Am arătat mai sus care sunt motivele: fie nu este necesar – în cazul universalelor –, fie nu este permis – în cazul particularelor.)
Schimbăm obligatoriu calitatea. De ce? Motivul are legătură şi cu ultima modificare – negarea predicatului. Am văzut că schimbul de calitate ne deplasează obiectul relaţiei. Ei bine, prin negarea predicatului acest lucru este anihilat. Să încercăm un exemplu. În luăm pe cel mai simplu, al universalei afirmative. „Toate ciupercile sunt comestibile.” Negăm predicatul şi observăm că vorbim de lucruri necomestibile. Schimbăm şi calitatea şi observăm că vorbim despre un alt obiect al relaţiei, şi anume ciupercile care nu sunt comestibile. Deci nu avem nicio contradicţie. Putem spune, fără teamă de a greşi, că dacă enunţul de la care am pornit este adevărat, atunci enunţul „Nicio ciupercă nu este necomestibilă” este şi el adevărat.
(Dacă tot suntem la motive, cel de mai sus este şi motivul pentru care negăm predicatul, şi nu subiectul, căci negarea subiectului nu schimbă obiectul relaţiei, ci elementul ei – obţinem doar „apolitici”, să zicem, în loc de „politicieni”; ulterior, prin schimbarea calităţii, ajungem la aceeaşi contradicţie din cazul conversiunii, adică avem schimbate obiectul – plus un element –, ceea ce nu ne serveşte la nimic pe linie deductivă.)
Aceste modificări constituie o obversiune. Adică o inferenţă prin care, pornind de la o propoziţie categorică oarecare, obţinem în concluzie o propoziţie cu aceeaşi cantitate, calitate diferită şi predicat negat. Cele două sunt echivalente din punctul de vedere al valorii de adevăr. Partea bună în cazul obversiunii este că nu trebuie să ne mai batem capul cu legea distribuţiei. De ce? Dat fiind că nu schimbăm cantitatea, subiectul va avea aceeaşi distribuţie în premisă şi în concluzie. Problemele apar însă din cauza schimbării calităţii. Dacă trecem de la o propoziţie negativă la una afirmativă, nu avem nicio problemă: predicatul a fost distribuit în premisă, deci nu ne interesează distribuţia lui în concluzie. Însă dacă trecem de la o propoziţie afirmativă la una negativă, predicatul premisei este nedistribuit, deci trebuie să vedem ce se întâmplă cu predicatul concluziei. El nu mai este acelaşi cu cel din premisă, în sensul că, dacă primul se referea la sfera elementelor P, cel de-al doilea trimite în afara acestei sfere. Ne amintim din discuţia despre distribuţie că predicatul negativelor este distribuit întrucât face trimitere la întreaga sferă a lui P. Ei bine, în cazul nostru predicatul concluziei neagă ceva despre întreaga sferă a lui non-P, adică despre întreaga sferă a unui alt termen. Dat fiind că acest nou termen nu apărea în premisă, nu putem aplica – deci nici încălca – legea distribuţiei. (Nu trebuie să ne deruteze negarea predicatului. Aceasta nu schimbă distribuţia termenului, ci termenul însuşi! Adică obţinem non-A în loc de A, dar distribuţia pentru non-A rămâne aceeaşi ca şi cea din cazul lui A, pentru simplul motiv că predicatul este non-A.)
Iată deci obversiunile:
Încă o observaţie (pe lângă aceea că la SoP i-a scăpat degetu' lui Liviu şi a rămas predicatu' mic): dat fiind că toate propoziţiile au obversă (deci nu trebuie să recurgem la „accidente”), cantitatea nu se schimbă niciodată. (Am arătat mai sus care sunt motivele: fie nu este necesar – în cazul universalelor –, fie nu este permis – în cazul particularelor.)
Propoziţii categorice (III.2 -- conversiunea)
Am zis de distribuţie, mai avem doi sau trei paşi pentru a termina colecţia de jucării. În ordine logică urmează inferenţele simple. Imediate, în sensul că sunt lipsite de termen mijlocitor. Cum ar veni, tehnica de a trece de la „Toate blondele sunt atrăgătoare” la formulări mai ondulate, de genul „Unele femei neatrăgătoare sunt non-blonde”. Dacă vă uitaţi la cele două propoziţii şi nu vedeţi legătura, înseamnă că vă uitaţi strâmb. A doua decurge din prima, şi se cheamă că este inversa ei totală. Conform cerinţellor pentru o inferenţă imediată validă, este echivalentă cu prima ca valoare de adevăr.
Să revenim la teorie. Inferenţa imediată este cea care ne permite să trecem de la o propoziţie la alta, păstrând noţiunile şi valoarea de adevăr. Trecerea se poate face în două moduri şi este valabilă numai dacă respectăm cerinţele particulare impuse şi nu încălcăm legea distribuţiei.
(Dacă se găseşte cineva să întrebe care este raţiunea acestor schimbări mă văd nevoit să-l rog să mai aştepte puţin. Când va veni rândul polisilogismelor vom vedea că de multe ori trebuie să transformăm o propoziţie pentru a putea opera cu ea. Altfel spus, din „Unii ciclişti se dopează” şi „Sportivii care nu se dopează sunt campioni” putem obţine o concluzie numai dacă reuşim să transformăm una dintre ele, aşa încât să nu amestecăm cantalupii cu turkestanii.)
Primul mod de trecere este acela în care se schimbă locurile (şi rolurile) celor două noţiuni. S trece în locul lui P şi P în locul lui S, ocazie cu care P (iniţial predicat) devine subiect, iar S (iniţial subiect) devine predicat. Altfel spus, convertim propoziţia. Iar rezultatul este conversa propoziţiei iniţiale. De exemplu, politicienii trec în cercul mincinoşilor şi invers. Dar este suficient să ne uităm puţin mai atent la „Toţi politicienii sunt mincinoşi” şi la „Toţi mincinoşii sunt politicieni” pentru a ne da seama că ceva nu este în regulă. Presupunând că prima propoziţie este adevărată, nu putem susţine cu tărie că şi a doua este adevărată. Vărul Gigi, mincinos patent, este fotbalist şi n-are nicio idee despre cum se face politică. Aşadar, ceva scârţâie. Ne vom da seama imediat ce. Să mai încercăm un lucru, şi anume schimbarea calităţii propoziţiei. Adică de la „Nicio raţă nu dansează conga” la „Toate dansatoarele de conga sunt raţe”. Am schimbat locul şi rolul fiecărui element, dar am schimbat şi calitatea propoziţiei. Dacă ne întoarcem la diagramele Venn ale propoziţiilor categorice, vom observa că, în timp ce prima propoziţie vizează zona centrală, în care nu există niciun element, cea de-a doua vizează elementele care există în zona centrală. Avem aşadar o contradicţie. Este evident că nu putem trece de la afirmaţie la negaţie (într-o relaţie), întrucât obiectul vizat este diferit. Altfel spus, dintr-o informaţie despre mere nu putem deduce o informaţie despre corcoduşe. (Nu trebuie să ne lăsăm induşi în eroare de faptul că S a luat locul lui P şi invers. E doar o „schimbare de perspectivă”. Dacă faceţi proba cu propoziţiile de mai sus, cu politicienii şi mincinoşii, veţi vedea că politicienii – care nu sunt mincinoşi – au trecut din stânga în dreapta, iar mincinoşii – care nu sunt politicieni – din dreapta în stânga. La mijloc au rămas politicienii mincinoşi, sau mincinoşii politicieni, în funcţie de perspectivă.)
Prin urmare, am obţinut o mică definiţie: conversiunea este inferenţa imediată prin care Subiectul şi Predicatul îşi schimbă locul (şi rolul), calitatea relaţiei dintre ele (a propoziţiei) rămânând neschimbată. De aici înainte putem vedea care sunt conversiunile pe care le putem face în mod legal, respectând legea distribuţiei.
Am văzut că din SaP nu putem deduce PaS în mod legal. De ce? Simplu: predicatul premisei (P) joacă rol de subiect în concluzie. Aşadar, în concluzie apare distribuit, în timp ce în premisă nu era distribuit. Or, tocmai acest lucru ne este interzis de legea distribuţiei. (Şi vedem în exemplul de mai sus că, dacă în premisă vorbeam despre toţi politicienii, în concluzie vorbim despre toţi mincinoşii. Or, premisa nu ne spune ceva decât despre o parte a oamenilor care sunt mincinoşi, nu despre toţi! Şi nu ne este permis să trecem de la afirmaţii despre parte la afirmaţii despre întreg.) Ce facem atunci cu SaP? Avem un caz special, în care ni se permite conversiunea „prin accident”. Altfel spus, renunţăm la pretenţii şi coborâm de la propoziţia universală la cea particulară (care susţine mai puţine, întrucât vorbeşte doar de anumite elemente, nu de toate). Iar rezultatul, PiS, este conversa prin accident a propoziţiei SaP. Nu am schimbat calitatea, nu am încălcat legea distribuţiei (ştim că în particulara afirmativă subiectul nu este distribuit), deci… avem o inferenţă validă. Aşa cum am menţionat deja, premisa şi concluzia au aceeaşi valoare de adevăr. Deci, dintr-o premisă adevărată vom obţine întotdeauna o concluzie adevărată. În exemplu nostru, ar trebui să fie evident pentru oricine că, dacă „Toţi politicienii sunt mincinoşi”, atunci (este clar că) „Unii mincinoşi sunt politicieni”. Aceasta este singura conversă prin accident, acceptată deoarece coborârea pe relaţia de subordonare face ca legea distribuţiei să fie respectată. Vom vedea că în cazul particularei negative, care nu se poate converti simplu din cauza interdicţiei impuse de legea distribuţiei, nu avem o „conversă prin accident”. De ce? Pentru că adevărul subalternei nu ne spune nimic despre adevărul supraalternei! Deci putem coborî de la universală la particulară, dar nu putem merge în sens invers.
Putem spune acum care sunt conversiunile permise:
Propoziţiile ar trebui să fie cunoscute. "C"-ul de deasupra săgeţii ne arată tipul de inferenţă: conversiunea.
Să vedem de ce nu se poate converti SoP. Din aceleaşi motive din care nu se poate converti simplu nici SaP. De data aceasta Subiectul premisei este în cauză, el ajungând pe post de predicat (distribuit) în concluzie şi încălcând astfel legea distribuţiei. Încă o observaţie. Putem vorbi despre o conversă prin accident a lui SeP. Este evident că dacă ambii termeni au fost distribuiţi în premisă ei pot juca orice rol în concluzie, indiferent de distribuţie; nu vor încălca regula. Aşadar, din SeP putem deduce „prin accident” PoS. (Şi este evident că dacă „Nicio bombă nu fluieră” atunci – este adevărat că – „Unele obiecte care fluieră nu sunt bombe”.) Numai că aceasta este o propoziţie particulară, care este mai slabă decât universala: ne dă mai puţină informaţie. Dat fiind că putem vorbi tot în termenii unei universale („Niciun obiect care fluieră nu este bombă”), nu are sens să apelăm la o conversă prin accident.
Mai rămâne să verificăm dacă SeP şi SiP se convertesc „legal” în PeS, respectiv PiS. Pentru SeP lucrurile sunt cât se poate de străvezii. Dat fiind că ambii termeni ai premisei au fost distribuiţi, faptul că ambii termeni ai concluziei sunt distribuiţi nu ne creează nicio problemă. Cazul SiP nu este nici el foarte complicat. În concluzie niciun termen nu este distribuit, aşadar nu poate încălca legea.
Să revenim la teorie. Inferenţa imediată este cea care ne permite să trecem de la o propoziţie la alta, păstrând noţiunile şi valoarea de adevăr. Trecerea se poate face în două moduri şi este valabilă numai dacă respectăm cerinţele particulare impuse şi nu încălcăm legea distribuţiei.
(Dacă se găseşte cineva să întrebe care este raţiunea acestor schimbări mă văd nevoit să-l rog să mai aştepte puţin. Când va veni rândul polisilogismelor vom vedea că de multe ori trebuie să transformăm o propoziţie pentru a putea opera cu ea. Altfel spus, din „Unii ciclişti se dopează” şi „Sportivii care nu se dopează sunt campioni” putem obţine o concluzie numai dacă reuşim să transformăm una dintre ele, aşa încât să nu amestecăm cantalupii cu turkestanii.)
Primul mod de trecere este acela în care se schimbă locurile (şi rolurile) celor două noţiuni. S trece în locul lui P şi P în locul lui S, ocazie cu care P (iniţial predicat) devine subiect, iar S (iniţial subiect) devine predicat. Altfel spus, convertim propoziţia. Iar rezultatul este conversa propoziţiei iniţiale. De exemplu, politicienii trec în cercul mincinoşilor şi invers. Dar este suficient să ne uităm puţin mai atent la „Toţi politicienii sunt mincinoşi” şi la „Toţi mincinoşii sunt politicieni” pentru a ne da seama că ceva nu este în regulă. Presupunând că prima propoziţie este adevărată, nu putem susţine cu tărie că şi a doua este adevărată. Vărul Gigi, mincinos patent, este fotbalist şi n-are nicio idee despre cum se face politică. Aşadar, ceva scârţâie. Ne vom da seama imediat ce. Să mai încercăm un lucru, şi anume schimbarea calităţii propoziţiei. Adică de la „Nicio raţă nu dansează conga” la „Toate dansatoarele de conga sunt raţe”. Am schimbat locul şi rolul fiecărui element, dar am schimbat şi calitatea propoziţiei. Dacă ne întoarcem la diagramele Venn ale propoziţiilor categorice, vom observa că, în timp ce prima propoziţie vizează zona centrală, în care nu există niciun element, cea de-a doua vizează elementele care există în zona centrală. Avem aşadar o contradicţie. Este evident că nu putem trece de la afirmaţie la negaţie (într-o relaţie), întrucât obiectul vizat este diferit. Altfel spus, dintr-o informaţie despre mere nu putem deduce o informaţie despre corcoduşe. (Nu trebuie să ne lăsăm induşi în eroare de faptul că S a luat locul lui P şi invers. E doar o „schimbare de perspectivă”. Dacă faceţi proba cu propoziţiile de mai sus, cu politicienii şi mincinoşii, veţi vedea că politicienii – care nu sunt mincinoşi – au trecut din stânga în dreapta, iar mincinoşii – care nu sunt politicieni – din dreapta în stânga. La mijloc au rămas politicienii mincinoşi, sau mincinoşii politicieni, în funcţie de perspectivă.)
Prin urmare, am obţinut o mică definiţie: conversiunea este inferenţa imediată prin care Subiectul şi Predicatul îşi schimbă locul (şi rolul), calitatea relaţiei dintre ele (a propoziţiei) rămânând neschimbată. De aici înainte putem vedea care sunt conversiunile pe care le putem face în mod legal, respectând legea distribuţiei.
Am văzut că din SaP nu putem deduce PaS în mod legal. De ce? Simplu: predicatul premisei (P) joacă rol de subiect în concluzie. Aşadar, în concluzie apare distribuit, în timp ce în premisă nu era distribuit. Or, tocmai acest lucru ne este interzis de legea distribuţiei. (Şi vedem în exemplul de mai sus că, dacă în premisă vorbeam despre toţi politicienii, în concluzie vorbim despre toţi mincinoşii. Or, premisa nu ne spune ceva decât despre o parte a oamenilor care sunt mincinoşi, nu despre toţi! Şi nu ne este permis să trecem de la afirmaţii despre parte la afirmaţii despre întreg.) Ce facem atunci cu SaP? Avem un caz special, în care ni se permite conversiunea „prin accident”. Altfel spus, renunţăm la pretenţii şi coborâm de la propoziţia universală la cea particulară (care susţine mai puţine, întrucât vorbeşte doar de anumite elemente, nu de toate). Iar rezultatul, PiS, este conversa prin accident a propoziţiei SaP. Nu am schimbat calitatea, nu am încălcat legea distribuţiei (ştim că în particulara afirmativă subiectul nu este distribuit), deci… avem o inferenţă validă. Aşa cum am menţionat deja, premisa şi concluzia au aceeaşi valoare de adevăr. Deci, dintr-o premisă adevărată vom obţine întotdeauna o concluzie adevărată. În exemplu nostru, ar trebui să fie evident pentru oricine că, dacă „Toţi politicienii sunt mincinoşi”, atunci (este clar că) „Unii mincinoşi sunt politicieni”. Aceasta este singura conversă prin accident, acceptată deoarece coborârea pe relaţia de subordonare face ca legea distribuţiei să fie respectată. Vom vedea că în cazul particularei negative, care nu se poate converti simplu din cauza interdicţiei impuse de legea distribuţiei, nu avem o „conversă prin accident”. De ce? Pentru că adevărul subalternei nu ne spune nimic despre adevărul supraalternei! Deci putem coborî de la universală la particulară, dar nu putem merge în sens invers.
Putem spune acum care sunt conversiunile permise:
Propoziţiile ar trebui să fie cunoscute. "C"-ul de deasupra săgeţii ne arată tipul de inferenţă: conversiunea.
Să vedem de ce nu se poate converti SoP. Din aceleaşi motive din care nu se poate converti simplu nici SaP. De data aceasta Subiectul premisei este în cauză, el ajungând pe post de predicat (distribuit) în concluzie şi încălcând astfel legea distribuţiei. Încă o observaţie. Putem vorbi despre o conversă prin accident a lui SeP. Este evident că dacă ambii termeni au fost distribuiţi în premisă ei pot juca orice rol în concluzie, indiferent de distribuţie; nu vor încălca regula. Aşadar, din SeP putem deduce „prin accident” PoS. (Şi este evident că dacă „Nicio bombă nu fluieră” atunci – este adevărat că – „Unele obiecte care fluieră nu sunt bombe”.) Numai că aceasta este o propoziţie particulară, care este mai slabă decât universala: ne dă mai puţină informaţie. Dat fiind că putem vorbi tot în termenii unei universale („Niciun obiect care fluieră nu este bombă”), nu are sens să apelăm la o conversă prin accident.
Mai rămâne să verificăm dacă SeP şi SiP se convertesc „legal” în PeS, respectiv PiS. Pentru SeP lucrurile sunt cât se poate de străvezii. Dat fiind că ambii termeni ai premisei au fost distribuiţi, faptul că ambii termeni ai concluziei sunt distribuiţi nu ne creează nicio problemă. Cazul SiP nu este nici el foarte complicat. În concluzie niciun termen nu este distribuit, aşadar nu poate încălca legea.
Propoziţii categorice (III.1 -- distribuţia)
După ce am terminat şi cu pătratul logic, suntem în faţa jucăriilor. Mai facem însă o mică haltă, pentru a explica cel mai important concept din domeniul propoziţiilor categorice: distribuţia termenilor. De ce este important? Ne arată un lucru simplu, care ne permite apoi să decidem validitatea inferenţelor mediate şi imediate cu care operăm atunci când avem ca elemente propoziţiile categorice.
Ce înseamnă "distribuţie"? Pur şi simplu prezenţa întregii extensiuni a termenului cu care operăm, fie el subiect sau predicat. Sau referirea la toate elementele care cad în sfera lui S (sau a lui P). Dacă nu vorbim despre toate elementele din sfera unui termen (sau dacă din datele propoziţiei nu putem spune cu certitudine ceva despre întreaga sferă a termenului), atunci spunem că acel termen este nedistribuit. Prin convenţie, pentru verificări, termenul distribuit se notează cu +, iar termenul nedistribuit cu –.
Tabelul de distribuţie pentru cele patru propoziţii categorice standard este următorul:
Ce putem vedea în acest tabel?
1. Subiectul este distribuit în universale şi nedistribuit în particulare.
2. Predicatul este distribuit în negative şi nedistribuit în afirmative.
Să explicăm puţin. Este limpede (şi am mai spus când am vorbit despre formele standard ale propoziţiilor categorice) că, folosind cuantori universali, propoziţia universală se referă la întreaga sferă a subiectului, afirmativ sau negativ: "Toţi" sau "Niciun(ul)". Ştim astfel că întreaga extensiune a subiectului este sau nu este prezentă în extensiunea predicatului. Aici lucrurile ar trebui să fie limpezi. Dar ce se întâmplă în cazul predicatului? Cum depistăm că este vorba de întreaga extensiune? Simplu! Când propoziţia este afirmativă, ni se spune că ceva (subiectul, în totalitate sau în parte) este în sfera lui P. Mai mult nu putem şti, deci nu avem informaţii decât despre o parte a sferei (extensiunii) lui P, şi anume aceea în care se regăsesc elemenetele subiectului. Deci în propoziţiile afirmative predicatul nu este distribuit. Dacă propoziţiile sunt negative, atunci ştim că unul, mai multe sau toate elementele din sfera subiectului sunt în afara sferei predicatului! Ce s-a schimbat?! Ştim cu certitudine ceva despre întreaga sferă a predicatului, şi anume că nu conţine niciun element al subiectului. Din acest motiv spunem că în propoziţiile negative "predicatul este distribuit".
[Exemplu: Niciun caşalot nu este patruped. Propoziţie universală negativă. Conform tabelului, ambii termeni sunt distribuiţi. Altfel spus, din enunţ ştim ceva despre întreaga extensiune a lui S şi despre întreaga extensiune a lui P. Despre extensiunea lui S ştim că se află cu totul în afara extensiunii lui P. Despre extensiunea lui P ştim că nu conţine în nicio parte a ei vreun element al lui S: dacă luăm toate patrupedele existente, nu vom găsi niciun caşalot printre ele.]
De ce este importantă distribuţia termenilor? Pentru că toate operaţiile pe care le facem cu propoziţii categorice trebuie să respecte (înainte de toate) regula esenţială a distribuirii termenilor. O vom menţiona aici, urmând să o explicăm în context, atunci când vorbim despre conversiune şi obversiune. Aşadar: Un termen din concluzia unei inferenţe cu propoziţii categorice poate fi distribuit numai dacă a fost distribuit şi în premisă (sau premise, în cazul silogismelor). Dacă această regulă este încălcată, inferenţa nu este validă, chiar dacă respectă alte reguli formale ale infereneţei. Aşadar, verificând regula distribuţiei, putem spune că, dacă nu este respectată, inferenţa nu este validă. Dacă este respectată, putem merge mai departe cu verificarea pentru a-i determina validitatea, dar dacă nu, trebuie să ne oprim: ştim sigur că avem de-a face cu o inferenţă nevalidă.
Propoziţiile categorice, aşa cum le-am prezentat până acum, nu ne sunt de niciun folos. Utilitatea lor logică depinde direct de posibilitatea de a le transforma şi combina. Altfel spus, de a ne "juca" cu ele. Cum le transformăm vom vedea data viitoare.
Ce înseamnă "distribuţie"? Pur şi simplu prezenţa întregii extensiuni a termenului cu care operăm, fie el subiect sau predicat. Sau referirea la toate elementele care cad în sfera lui S (sau a lui P). Dacă nu vorbim despre toate elementele din sfera unui termen (sau dacă din datele propoziţiei nu putem spune cu certitudine ceva despre întreaga sferă a termenului), atunci spunem că acel termen este nedistribuit. Prin convenţie, pentru verificări, termenul distribuit se notează cu +, iar termenul nedistribuit cu –.
Tabelul de distribuţie pentru cele patru propoziţii categorice standard este următorul:
Ce putem vedea în acest tabel?
1. Subiectul este distribuit în universale şi nedistribuit în particulare.
2. Predicatul este distribuit în negative şi nedistribuit în afirmative.
Să explicăm puţin. Este limpede (şi am mai spus când am vorbit despre formele standard ale propoziţiilor categorice) că, folosind cuantori universali, propoziţia universală se referă la întreaga sferă a subiectului, afirmativ sau negativ: "Toţi" sau "Niciun(ul)". Ştim astfel că întreaga extensiune a subiectului este sau nu este prezentă în extensiunea predicatului. Aici lucrurile ar trebui să fie limpezi. Dar ce se întâmplă în cazul predicatului? Cum depistăm că este vorba de întreaga extensiune? Simplu! Când propoziţia este afirmativă, ni se spune că ceva (subiectul, în totalitate sau în parte) este în sfera lui P. Mai mult nu putem şti, deci nu avem informaţii decât despre o parte a sferei (extensiunii) lui P, şi anume aceea în care se regăsesc elemenetele subiectului. Deci în propoziţiile afirmative predicatul nu este distribuit. Dacă propoziţiile sunt negative, atunci ştim că unul, mai multe sau toate elementele din sfera subiectului sunt în afara sferei predicatului! Ce s-a schimbat?! Ştim cu certitudine ceva despre întreaga sferă a predicatului, şi anume că nu conţine niciun element al subiectului. Din acest motiv spunem că în propoziţiile negative "predicatul este distribuit".
[Exemplu: Niciun caşalot nu este patruped. Propoziţie universală negativă. Conform tabelului, ambii termeni sunt distribuiţi. Altfel spus, din enunţ ştim ceva despre întreaga extensiune a lui S şi despre întreaga extensiune a lui P. Despre extensiunea lui S ştim că se află cu totul în afara extensiunii lui P. Despre extensiunea lui P ştim că nu conţine în nicio parte a ei vreun element al lui S: dacă luăm toate patrupedele existente, nu vom găsi niciun caşalot printre ele.]
De ce este importantă distribuţia termenilor? Pentru că toate operaţiile pe care le facem cu propoziţii categorice trebuie să respecte (înainte de toate) regula esenţială a distribuirii termenilor. O vom menţiona aici, urmând să o explicăm în context, atunci când vorbim despre conversiune şi obversiune. Aşadar: Un termen din concluzia unei inferenţe cu propoziţii categorice poate fi distribuit numai dacă a fost distribuit şi în premisă (sau premise, în cazul silogismelor). Dacă această regulă este încălcată, inferenţa nu este validă, chiar dacă respectă alte reguli formale ale infereneţei. Aşadar, verificând regula distribuţiei, putem spune că, dacă nu este respectată, inferenţa nu este validă. Dacă este respectată, putem merge mai departe cu verificarea pentru a-i determina validitatea, dar dacă nu, trebuie să ne oprim: ştim sigur că avem de-a face cu o inferenţă nevalidă.
Propoziţiile categorice, aşa cum le-am prezentat până acum, nu ne sunt de niciun folos. Utilitatea lor logică depinde direct de posibilitatea de a le transforma şi combina. Altfel spus, de a ne "juca" cu ele. Cum le transformăm vom vedea data viitoare.
Propoziţii categorice (II -- relaţii)
După ce am stabilit ce sunt propoziţiile categorice şi am văzut cum arată, să vedem cum se raportează una la cealaltă. Atenţie – această raportare nu presupune o raportare a oricărei propoziţii la oricare alta, ci a tipurilor de legături între două şi numai două noţiuni. Nu putem stabili un raport între „Toţi bulgarii sunt europeni” şi „Unii sud-americani vorbesc portugheza”. (Avem două relaţii care leagă patru noţiuni, iar între cele două enunţuri putem avea orice tip de raport şi, în acelaşi timp, nu putem avea niciun tip de raport logic. Rezultatul este că putem spune orice, fără a spune de fapt nimic în ordine logică.) Putem discuta numai despre raporturile între „Toate maimuţele sunt inteligente” şi „Nicio maimuţă nu este inteligentă” sau „Unele maimuţe sunt inteligente”, „Maimuţa mea e proastă” şamd. Dar cu acestea ne vom juca mai târziu, când ajungem la soriţi şi epichereme.
Ca să vedem mai bine cum stau lucrurile, punem propoziţiile categorice în pătratul logic născocit de taica Boethius, cam cu un sfert de veac înainte de a apărea numărătoarea anilor (după capul lui Dionisie Exiguul), şi desenat aici de Liviu, mare tehnoredactor, cât se poate de contemporan.
După ce am aşezat propoziţiile astfel ne putem juca puţin, observând ce putem deduce dintr-o informaţie sau alta. Deocamdată nu ne interesează cuvintele, ci numai propoziţiile noastre şi locul în care este aşezată fiecare.
Aşadar, iată raporturile dintre propoziţiile categorice şi ce semnificaţie au ele din punctul de vedere al informaţiei imediate suplimentare. (Altfel spus, ce putem spune -- fără a aduce informaţie străină -- despre celelalte tipuri de propoziţii dacă ştim ceva despre una -- în cazul nostru, dacă este adevărată sau falsă; dacă lucrurile stau aşa sau nu stau aşa.) Mai întâi încercaţi singuri, pornind de la enunţul SaP. Să zicem, "Toate blondele sunt parlamentare". Acest enunţ poate fi adevărat sau fals. Ce puteţi spune despre SeP, SiP şi SoP dacă SaP este adevărat? Dar dacă este fals?
Notaţi-vă rezultatele şi urmăriţi în continuare paşii "logici" ai acestor deducţii.
Mai întâi să studiem pătratul (ignorând în continuare cuvintele). Vedem că pe latura din stânga sunt aşezate propoziţiile afirmative, cea din dreapta fiind rezervată propoziţiilor negative. Cele universale sunt sus, iar cele particulare jos. Aşadar, pornind dintr-un colţ, putem merge către oricare dintre celelalte colţuri. Pe rând, normal, deoarece suntem stresaţi tot timpul de clauza esenţială a enunţării logice: "în acelaşi timp şi sub acelaşi raport", adică acum şi din punctul ăsta de vedere! În orice colţ ne-am afla, putem încerca să schimbăm calitatea (adică să o luăm la stânga dacă suntem pe latura din dreapta, şi invers), cantitatea (să o luăm în sus dacă suntem jos, şi invers) sau să schimbăm şi calitatea şi cantitatea (caz în care pornim pe diagonală).
De obicei se începe cu cel mai important raport, diagonala, dar aici încerc să dau nişte explicaţii deglutibile, aşa că voi începe cu cel mai simplu raport: cel dintre propoziţii de aceeaşi calitate. Dacă avem enunţul "Toate blondele sunt în parlament" şi vrem să spunem ceva fără a schimba calitatea, vom fi nevoiţi să schimbăm calitatea. Alternativa ar fi o tautologie banală, adică o reafirmare a propoziţiei. (To auto legein în greaca veche înseamnă "a spune acelaşi lucru" şi, oricât v-aţi mira, este cea mai tare metodă de a spune un adevăr. Există şi tautologii care nu sunt banale, ceea ce nu înseamnă însă că ne spun ceva nou. În fine, poate vom explicita şi chestia asta.) Deci, dacă nu vrem să repetăm enunţul şi nici calitatea lui (adică nu vrem să spunem ceva despre fiinţele care nu sunt în parlament), putem schimba cantitatea. Şi atunci, spunem "Unele blonde sunt în parlament". Este adevărat? Dacă enunţul de la care am pornit este adevărat, devine evident că şi al doilea este adevărat, căci este clar că putem spune că există două blonde în parlament după ce am spus că toate sunt acolo! Dar dacă primul enunţ este fals? Ştim că nu toate blondele sunt în parlament. Dar putem spune că există vreuna în parlament? Din informaţia dată, nu! Pentru că informaţia iniţială nu ne spune decât că "nu este adevărat că toate elementele din sfera lui S sunt în P". Atât! S-ar putea ca în parlament să fie câteva blonde sau niciuna, dar noi nu putem şti asta decât dacă venim cu informaţii suplimentare.
Dar dacă am o propoziţie particulară? Ştim că "Unele blonde sunt în parlament" este adevărată. Ce putem spune despre "Toate blondele sunt în parlament"? Nimic! S-ar putea ca toate blondele să fie în parlament, dar s-ar putea ca una să fie în afară, ceea ce ar face ca enunţul universal să fie fals. Însă, dacă "Unele blonde sunt în parlament" este o propoziţie falsă, atunci putem afirma foarte siguri pe noi că propoziţia universală este şi ea falsă. Căci falsul particularei ne spune de fapt că în parlament nu există nicio blondă, aşa că nici nu se mai pune problema posibilităţii ca toate să fie în parlament! Acesta este raportul de subalternare, în care propoziţia de sus e "supraalternă", iar cea de jos "subalternă". Supraalterna adevărată garantează adevărul subalternei, iar falsul subalternei garantează falsul supraalternei. Şi atât! Dacă ne mutăm pe latura din dreapta, relaţiile rămân aceleaşi, deci avem tot un raport de subalternare. Am pornit cu acest raport deoarece este cel mai simplu, neimplicând opoziţia (schimbarea în predicat/calitate).
Să ne întoarcem la colţul din stânga sus şi să pornim în altă direcţie. Spre dreapta. Primul lucru pe care îl constatăm este că avem un raport de opoziţie ("este" contra "nu este"). Este normal, dat fiind că între cele două propoziţii există o diferenţă calitativă! Să zicem că avem propoziţia "Toţi comentatorii sportivi sunt comici". Propoziţia de aceeaşi cantitate, dar de calitate schimbată, peste care dăm la celălalt capăt al laturii de sus, este "Niciun comentator sportiv nu este comic". Ce putem spune despre ea? Dacă afirmativa colegă de cantitate este adevărată, atunci negativa este falsă. Căci dacă toţi comentatorii sportivi sunt comici este evident că nu putem spune că niciunul nu este comic! Dar dacă afirmativa este falsă? Ei bine, nu mai putem spune nimic, dat fiind că nu ni se comunică decât informaţia că nu toţi comentatorii sportivi sunt comici. Asta înseamnă (după cum am văzut şi mai sus, în cazul blondelor parlamentare) că s-ar putea ca unii să fie totuşi comici, la fel de bine cum s-ar putea ca niciunul să nu fie comic. Dar nu ştim sigur care e cazul. Pornind pe aceeaşi latură de la dreapta la stânga obţinem aceeaşi relaţie. Dacă negativa este adevărată, afirmativa este falsă. Dacă negativa este falsă, nu ştim dacă afirmativa este adevărată sau falsă.
Altfel spus, dacă spunem că un lucru este alb devine evident că el nu poate fi şi negru (în acelaşi timp şi sub acelaşi raport, adică acum şi din punctul ăsta de vedere!), dar dacă spunem că nu este alb nu mai putem susţine nimic cert despre el. Nu avem informaţii pentru a susţine că e negru – el poate fi gri, maro sau liliachiu. Pre limba logicească, propoziţiile contrare (SaP şi SeP) nu pot fi ambele adevărate, dar pot fi ambele false în acelaşi timp şi sub acelaşi raport! Acesta este raportul de contrarietate.
De data aceasta, lucrurile nu mai stau la fel dacă ne mutăm pe latura de jos. De ce? Pentru că avem de-a face cu părţi! Este drept, se poate întâmpla ca în unele cazuri informaţia despre parte să fie valabilă şi pentru întreg, dar noi nu ştim asta. Ştim ceva doar despre "unii". Ce se schimbă dacă ştim ceva doar despre parte? Să vedem. Pentru asta, zicem că "Unii bancheri sunt pungaşi" este o propoziţie adevărată. Putem spune că "Unii bancheri nu sunt pungaşi" este o propoziţie falsă? Nu prea. Adică se poate ca lucrurile să stea aşa, dar informaţia noastră nu ne spune nimic despre bancherii care nu sunt pungaşi -- s-ar putea ca ei să existe, dar s-ar putea să nu existe! Dacă propoziţia noastră ar fi falsă, atunci ar fi evident că, dat fiind că nu există bancheri care sunt pungaşi, trebuie să existe bancheri care nu sunt pungaşi. Căci există bancheri, iar predicatul nostru ne spune dacă sunt pungaşi sau nu. Or, dacă nu sunt de-un fel, atunci sunt de celălalt. Nu se poate să nu fie niciunul! Dacă pornim de la dreapta spre stânga, relaţiile sunt aceleaşi. Acest raport este unul de subcontrarietate, şi funcţionează exact invers faţă de cel de contrarietate, în sensul că propoziţiile subcontrare (SiP şi SoP) nu pot fi ambele false, dar pot fi ambele adevărate în acelaşi timp şi sub acelaşi raport.
În sfârşit, ne întoarcem la colţul nostru pentru a pleca pe diagonală. Altfel spus, legăm propoziţia noastră cu cea care este diferită şi după cantitate, şi după calitate. Şi zicem aşa: "Toţi politicienii mint". În colţul opus avem particulara negativă, adică "Unii politicieni nu mint". Să zicem că prima (SaP) este adevărată. Este evident că toate elementele noastre se află în sfera predicatului (oameni care mint). Atunci nu mai putem spune că există vreunul în afară. Deci "Unii politicieni nu mint" este o propoziţie falsă. Dacă SaP este falsă, atunci SoP este obligatoriu adevărată, pentru că înseamnă că nu este cazul ca toţi politicienii să fie mincinoşi, deci e musai să existe unul care nu e mincinos. Deci putem susţine cu tărie că "unii politicieni nu mint". Pornind de la celălalt capăt al diagonalei, este evident că dacă particulara negativă este adevărată universala afirmativă care leagă aceleaşi noţiuni este falsă. Însă dacă este falsă, nu putem găsi picior de politician care să nu mintă, deci putem susţine cu tărie că propoziţia "Toţi politicienii mint" este adevărată. Acesta este raportul de contradicţie. Se observă că, spre deosebire de fraţii şi surorile dumisale, acest raport ne spune ceva despre propoziţia a doua din relaţie indiferent dacă prima (cea de la care pornim) este adevărată sau falsă. Iar lucrurile stau în acelaşi fel şi dacă schimbăm diagonala.
Şi acum o recapitulare a raporturilor, în ordinea lor "de manual":
Contradicţie (SaP cu SoP şi SeP cu SiP): nu pot fi ambele adevărate, nici ambele false (în acelaşi timp şi sub acelaşi raport)
Dacă SaP este adevărată (1), atunci SoP este falsă (0)
SaP = 0 → SoP = 1
SoP = 1 → SaP = 0
SoP = 0 → SaP = 1
Aceste relaţii deductive rămân valabile atunci când punem SeP în loc de SaP şi SiP în loc de SoP.
Contrarietate (SaP cu SeP): pot fi ambele false, dar nu pot fi ambele adevărate
Dacă SaP este adevărată (1), atunci SeP este falsă (0)
SeP = 1 → SaP = 0
SaP = 0 → SeP = ?
SeP = 0 → SaP = ?
„?” stă aici pentru „indecis”, „indecidabil” sau cum vreţi să-i spunem. El ne arată pur şi simplu că din falsul unei dintre propoziţiile care stau într-o astfel de relaţie nu putem deduce nimic cert cu privire la cealaltă: poate fi falsă, dar poate fi şi adevărată – nu ştim asta.
Subcontrarietate (SiP cu SoP): pot fi ambele adevărate, dar nu pot fi ambele false
Dacă SiP este falsă (0), atunci SoP este adevărată (1)
SoP = 0 → SiP = 1
SiP = 1 → SoP = ?
SoP = 1 → SiP = ?
Subalternare (SaP cu SiP şi SeP cu SoP): adevărul întregului este adevărul părţii; falsul părţii este falsul întregului
Dacă SaP este adevărată (1), atunci SiP este adevărată (1)
SiP = 0 → SaP = 0
SaP = 0 → SiP = ?
SiP = 0 → SaP = ?
Aceste relaţii deductive rămân valabile atunci când punem SeP în loc de SaP şi SoP în loc de SiP.
După cum se observă, sub aspect deductiv cel mai puternic raport este cel de contradicţie. Altfel spus, dacă avem un raport de contradicţie putem spune cele mai multe lucruri despre elementele raportului. Celelalte raporturi, fie ele de opoziţie (contrarietatea şi subcontrarietatea) sau de ordonare (subalternarea), nu ne spun decât jumătate din ceea ce ne spune un raport de contradicţie.
"Ecuaţiile" de mai sus nu trebuie memorate!!! (În general, logica nu cere prea multă memorie. Este mult mai important să înţelegi şi să "vezi" la nivel abstract obiectele şi relaţiile dintre ele.) Este esenţial să înţelegeţi raporturile. Dacă le-aţi înţeles, cu o bucată de hârtie şi un creion puteţi rescrie la orice oră tot ce decurge din aceste relaţii. Şi o mulţime de alte lucruri.
Iată aşadar ce putem spune (şi ce nu putem spune) despre două elemente aşezate într-o relaţie pe criterii de cantitate (întregul sau partea) şi calitate (afirmativ sau negativ) fără a le modifica poziţia, cantitatea sau calitatea. (Faptul că spunem ceva despre propoziţia de cantitate sau/şi calitate opusă nu presupune o modificare!)
În continuare vom vedea cum putem obţine informaţii suplimentare din aceste relaţii modificând, după reguli logice, poziţia, cantitatea sau calitatea celor două elemente, pentru a putea construi mai apoi operaţii de gândire mai complicate. Vom vedea ce putem deduce imediat (adică fără a mai implica alte informaţii, care ar presupune „mediere”) din ele. Altfel spus, ce putem spune despre S şi P în afară de ceea ce este evident prin simpla afirmare sau negare, după cum s-a văzut în cadrul standard de mai sus.
Ca să vedem mai bine cum stau lucrurile, punem propoziţiile categorice în pătratul logic născocit de taica Boethius, cam cu un sfert de veac înainte de a apărea numărătoarea anilor (după capul lui Dionisie Exiguul), şi desenat aici de Liviu, mare tehnoredactor, cât se poate de contemporan.
După ce am aşezat propoziţiile astfel ne putem juca puţin, observând ce putem deduce dintr-o informaţie sau alta. Deocamdată nu ne interesează cuvintele, ci numai propoziţiile noastre şi locul în care este aşezată fiecare.
Aşadar, iată raporturile dintre propoziţiile categorice şi ce semnificaţie au ele din punctul de vedere al informaţiei imediate suplimentare. (Altfel spus, ce putem spune -- fără a aduce informaţie străină -- despre celelalte tipuri de propoziţii dacă ştim ceva despre una -- în cazul nostru, dacă este adevărată sau falsă; dacă lucrurile stau aşa sau nu stau aşa.) Mai întâi încercaţi singuri, pornind de la enunţul SaP. Să zicem, "Toate blondele sunt parlamentare". Acest enunţ poate fi adevărat sau fals. Ce puteţi spune despre SeP, SiP şi SoP dacă SaP este adevărat? Dar dacă este fals?
Notaţi-vă rezultatele şi urmăriţi în continuare paşii "logici" ai acestor deducţii.
Mai întâi să studiem pătratul (ignorând în continuare cuvintele). Vedem că pe latura din stânga sunt aşezate propoziţiile afirmative, cea din dreapta fiind rezervată propoziţiilor negative. Cele universale sunt sus, iar cele particulare jos. Aşadar, pornind dintr-un colţ, putem merge către oricare dintre celelalte colţuri. Pe rând, normal, deoarece suntem stresaţi tot timpul de clauza esenţială a enunţării logice: "în acelaşi timp şi sub acelaşi raport", adică acum şi din punctul ăsta de vedere! În orice colţ ne-am afla, putem încerca să schimbăm calitatea (adică să o luăm la stânga dacă suntem pe latura din dreapta, şi invers), cantitatea (să o luăm în sus dacă suntem jos, şi invers) sau să schimbăm şi calitatea şi cantitatea (caz în care pornim pe diagonală).
De obicei se începe cu cel mai important raport, diagonala, dar aici încerc să dau nişte explicaţii deglutibile, aşa că voi începe cu cel mai simplu raport: cel dintre propoziţii de aceeaşi calitate. Dacă avem enunţul "Toate blondele sunt în parlament" şi vrem să spunem ceva fără a schimba calitatea, vom fi nevoiţi să schimbăm calitatea. Alternativa ar fi o tautologie banală, adică o reafirmare a propoziţiei. (To auto legein în greaca veche înseamnă "a spune acelaşi lucru" şi, oricât v-aţi mira, este cea mai tare metodă de a spune un adevăr. Există şi tautologii care nu sunt banale, ceea ce nu înseamnă însă că ne spun ceva nou. În fine, poate vom explicita şi chestia asta.) Deci, dacă nu vrem să repetăm enunţul şi nici calitatea lui (adică nu vrem să spunem ceva despre fiinţele care nu sunt în parlament), putem schimba cantitatea. Şi atunci, spunem "Unele blonde sunt în parlament". Este adevărat? Dacă enunţul de la care am pornit este adevărat, devine evident că şi al doilea este adevărat, căci este clar că putem spune că există două blonde în parlament după ce am spus că toate sunt acolo! Dar dacă primul enunţ este fals? Ştim că nu toate blondele sunt în parlament. Dar putem spune că există vreuna în parlament? Din informaţia dată, nu! Pentru că informaţia iniţială nu ne spune decât că "nu este adevărat că toate elementele din sfera lui S sunt în P". Atât! S-ar putea ca în parlament să fie câteva blonde sau niciuna, dar noi nu putem şti asta decât dacă venim cu informaţii suplimentare.
Dar dacă am o propoziţie particulară? Ştim că "Unele blonde sunt în parlament" este adevărată. Ce putem spune despre "Toate blondele sunt în parlament"? Nimic! S-ar putea ca toate blondele să fie în parlament, dar s-ar putea ca una să fie în afară, ceea ce ar face ca enunţul universal să fie fals. Însă, dacă "Unele blonde sunt în parlament" este o propoziţie falsă, atunci putem afirma foarte siguri pe noi că propoziţia universală este şi ea falsă. Căci falsul particularei ne spune de fapt că în parlament nu există nicio blondă, aşa că nici nu se mai pune problema posibilităţii ca toate să fie în parlament! Acesta este raportul de subalternare, în care propoziţia de sus e "supraalternă", iar cea de jos "subalternă". Supraalterna adevărată garantează adevărul subalternei, iar falsul subalternei garantează falsul supraalternei. Şi atât! Dacă ne mutăm pe latura din dreapta, relaţiile rămân aceleaşi, deci avem tot un raport de subalternare. Am pornit cu acest raport deoarece este cel mai simplu, neimplicând opoziţia (schimbarea în predicat/calitate).
Să ne întoarcem la colţul din stânga sus şi să pornim în altă direcţie. Spre dreapta. Primul lucru pe care îl constatăm este că avem un raport de opoziţie ("este" contra "nu este"). Este normal, dat fiind că între cele două propoziţii există o diferenţă calitativă! Să zicem că avem propoziţia "Toţi comentatorii sportivi sunt comici". Propoziţia de aceeaşi cantitate, dar de calitate schimbată, peste care dăm la celălalt capăt al laturii de sus, este "Niciun comentator sportiv nu este comic". Ce putem spune despre ea? Dacă afirmativa colegă de cantitate este adevărată, atunci negativa este falsă. Căci dacă toţi comentatorii sportivi sunt comici este evident că nu putem spune că niciunul nu este comic! Dar dacă afirmativa este falsă? Ei bine, nu mai putem spune nimic, dat fiind că nu ni se comunică decât informaţia că nu toţi comentatorii sportivi sunt comici. Asta înseamnă (după cum am văzut şi mai sus, în cazul blondelor parlamentare) că s-ar putea ca unii să fie totuşi comici, la fel de bine cum s-ar putea ca niciunul să nu fie comic. Dar nu ştim sigur care e cazul. Pornind pe aceeaşi latură de la dreapta la stânga obţinem aceeaşi relaţie. Dacă negativa este adevărată, afirmativa este falsă. Dacă negativa este falsă, nu ştim dacă afirmativa este adevărată sau falsă.
Altfel spus, dacă spunem că un lucru este alb devine evident că el nu poate fi şi negru (în acelaşi timp şi sub acelaşi raport, adică acum şi din punctul ăsta de vedere!), dar dacă spunem că nu este alb nu mai putem susţine nimic cert despre el. Nu avem informaţii pentru a susţine că e negru – el poate fi gri, maro sau liliachiu. Pre limba logicească, propoziţiile contrare (SaP şi SeP) nu pot fi ambele adevărate, dar pot fi ambele false în acelaşi timp şi sub acelaşi raport! Acesta este raportul de contrarietate.
De data aceasta, lucrurile nu mai stau la fel dacă ne mutăm pe latura de jos. De ce? Pentru că avem de-a face cu părţi! Este drept, se poate întâmpla ca în unele cazuri informaţia despre parte să fie valabilă şi pentru întreg, dar noi nu ştim asta. Ştim ceva doar despre "unii". Ce se schimbă dacă ştim ceva doar despre parte? Să vedem. Pentru asta, zicem că "Unii bancheri sunt pungaşi" este o propoziţie adevărată. Putem spune că "Unii bancheri nu sunt pungaşi" este o propoziţie falsă? Nu prea. Adică se poate ca lucrurile să stea aşa, dar informaţia noastră nu ne spune nimic despre bancherii care nu sunt pungaşi -- s-ar putea ca ei să existe, dar s-ar putea să nu existe! Dacă propoziţia noastră ar fi falsă, atunci ar fi evident că, dat fiind că nu există bancheri care sunt pungaşi, trebuie să existe bancheri care nu sunt pungaşi. Căci există bancheri, iar predicatul nostru ne spune dacă sunt pungaşi sau nu. Or, dacă nu sunt de-un fel, atunci sunt de celălalt. Nu se poate să nu fie niciunul! Dacă pornim de la dreapta spre stânga, relaţiile sunt aceleaşi. Acest raport este unul de subcontrarietate, şi funcţionează exact invers faţă de cel de contrarietate, în sensul că propoziţiile subcontrare (SiP şi SoP) nu pot fi ambele false, dar pot fi ambele adevărate în acelaşi timp şi sub acelaşi raport.
În sfârşit, ne întoarcem la colţul nostru pentru a pleca pe diagonală. Altfel spus, legăm propoziţia noastră cu cea care este diferită şi după cantitate, şi după calitate. Şi zicem aşa: "Toţi politicienii mint". În colţul opus avem particulara negativă, adică "Unii politicieni nu mint". Să zicem că prima (SaP) este adevărată. Este evident că toate elementele noastre se află în sfera predicatului (oameni care mint). Atunci nu mai putem spune că există vreunul în afară. Deci "Unii politicieni nu mint" este o propoziţie falsă. Dacă SaP este falsă, atunci SoP este obligatoriu adevărată, pentru că înseamnă că nu este cazul ca toţi politicienii să fie mincinoşi, deci e musai să existe unul care nu e mincinos. Deci putem susţine cu tărie că "unii politicieni nu mint". Pornind de la celălalt capăt al diagonalei, este evident că dacă particulara negativă este adevărată universala afirmativă care leagă aceleaşi noţiuni este falsă. Însă dacă este falsă, nu putem găsi picior de politician care să nu mintă, deci putem susţine cu tărie că propoziţia "Toţi politicienii mint" este adevărată. Acesta este raportul de contradicţie. Se observă că, spre deosebire de fraţii şi surorile dumisale, acest raport ne spune ceva despre propoziţia a doua din relaţie indiferent dacă prima (cea de la care pornim) este adevărată sau falsă. Iar lucrurile stau în acelaşi fel şi dacă schimbăm diagonala.
Şi acum o recapitulare a raporturilor, în ordinea lor "de manual":
Contradicţie (SaP cu SoP şi SeP cu SiP): nu pot fi ambele adevărate, nici ambele false (în acelaşi timp şi sub acelaşi raport)
Dacă SaP este adevărată (1), atunci SoP este falsă (0)
SaP = 0 → SoP = 1
SoP = 1 → SaP = 0
SoP = 0 → SaP = 1
Aceste relaţii deductive rămân valabile atunci când punem SeP în loc de SaP şi SiP în loc de SoP.
Contrarietate (SaP cu SeP): pot fi ambele false, dar nu pot fi ambele adevărate
Dacă SaP este adevărată (1), atunci SeP este falsă (0)
SeP = 1 → SaP = 0
SaP = 0 → SeP = ?
SeP = 0 → SaP = ?
„?” stă aici pentru „indecis”, „indecidabil” sau cum vreţi să-i spunem. El ne arată pur şi simplu că din falsul unei dintre propoziţiile care stau într-o astfel de relaţie nu putem deduce nimic cert cu privire la cealaltă: poate fi falsă, dar poate fi şi adevărată – nu ştim asta.
Subcontrarietate (SiP cu SoP): pot fi ambele adevărate, dar nu pot fi ambele false
Dacă SiP este falsă (0), atunci SoP este adevărată (1)
SoP = 0 → SiP = 1
SiP = 1 → SoP = ?
SoP = 1 → SiP = ?
Subalternare (SaP cu SiP şi SeP cu SoP): adevărul întregului este adevărul părţii; falsul părţii este falsul întregului
Dacă SaP este adevărată (1), atunci SiP este adevărată (1)
SiP = 0 → SaP = 0
SaP = 0 → SiP = ?
SiP = 0 → SaP = ?
Aceste relaţii deductive rămân valabile atunci când punem SeP în loc de SaP şi SoP în loc de SiP.
După cum se observă, sub aspect deductiv cel mai puternic raport este cel de contradicţie. Altfel spus, dacă avem un raport de contradicţie putem spune cele mai multe lucruri despre elementele raportului. Celelalte raporturi, fie ele de opoziţie (contrarietatea şi subcontrarietatea) sau de ordonare (subalternarea), nu ne spun decât jumătate din ceea ce ne spune un raport de contradicţie.
"Ecuaţiile" de mai sus nu trebuie memorate!!! (În general, logica nu cere prea multă memorie. Este mult mai important să înţelegi şi să "vezi" la nivel abstract obiectele şi relaţiile dintre ele.) Este esenţial să înţelegeţi raporturile. Dacă le-aţi înţeles, cu o bucată de hârtie şi un creion puteţi rescrie la orice oră tot ce decurge din aceste relaţii. Şi o mulţime de alte lucruri.
Iată aşadar ce putem spune (şi ce nu putem spune) despre două elemente aşezate într-o relaţie pe criterii de cantitate (întregul sau partea) şi calitate (afirmativ sau negativ) fără a le modifica poziţia, cantitatea sau calitatea. (Faptul că spunem ceva despre propoziţia de cantitate sau/şi calitate opusă nu presupune o modificare!)
În continuare vom vedea cum putem obţine informaţii suplimentare din aceste relaţii modificând, după reguli logice, poziţia, cantitatea sau calitatea celor două elemente, pentru a putea construi mai apoi operaţii de gândire mai complicate. Vom vedea ce putem deduce imediat (adică fără a mai implica alte informaţii, care ar presupune „mediere”) din ele. Altfel spus, ce putem spune despre S şi P în afară de ceea ce este evident prin simpla afirmare sau negare, după cum s-a văzut în cadrul standard de mai sus.
Propoziţiile categorice (I -- prezentare generală)
Graficele au fost refăcute de Liviu. Mulţam fain.
Sunt cele mai simple propoziţii logice, care ne spun ceva despre două şi numai două noţiuni, dintre care una este subiect logic iar cealaltă este predicat logic. Avem de-a face doar cu sferele -- sau extensiunile -- celor două noţiuni puse în relaţie, iar valoarea de adevăr este atribuită doar acestei relaţii şi nu poate varia în funcţie de relaţii complexe de alte ordine în care este pusă relaţia noastră mai apoi (motiv pentru care numim astfel de propoziţii -- relaţii -- "categorice").
Una dintre noţiuni joacă rol de subiect (logic) iar cealaltă de predicat (logic), motiv pentru care propoziţiei care exprimă relaţia i se mai spune şi "de predicaţie". (Propoziţii în care ni se spune -- predică, în sens primar, laic, adică tocmai de a afirma despre -- ceva despre un lucru. Că este alb, bun, subţire, patruped etc.)
Modul formal în care operează predicaţia este cât se poate de simplu: predicatul ne spune ceva despre intensiunea (conţinutul) noţiunii-subiect printr-un raport al extensiunilor (sferelor) celor două noţiuni. Altfel spus, predicatul nu este o proprietate, ci o noţiune în a cărei sferă intră toate lucrurile care au proprietatea respectivă ("lucruri albe", "corpuri care au o anumită greutate" etc.) Este important să se înţeleagă acest lucru, pentru că expresia naturală de predicaţie poate fi derutantă, mai ales atunci când avem de-a face cu forme negative sau subiecte particulare.
Relaţia dintre noţiuni poate fi considerată sub două aspecte: cantitativ şi calitativ. Altfel spus, cât din extensiune (întreg, parte sau nimic) intră în relaţie şi cum (pozitiv sau negativ -- este sau nu este). Primul aspect caracterizează subiectul logic iar al doilea ţine de predicat. Totuşi, putem vorbi de o calitate a subiectului (aceea de a fi -- pe de-a-ntregul, în parte sau deloc) şi de o cantitate a predicatului, totdeauna aceeaşi, şi anume sfera tuturor obiectelor care au proprietatea predicată de el. Calitatea subiectului şi cantitatea predicatului nu au legătură cu calitatea şi cantitatea propoziţiei. Prin inversare ajungem însă la o afirmaţie valabilă: cantitatea subiectului are legătură cu a propoziţiei, iar calitatea predicatului are legătură cu cea a propoziţiei, acestea fiind chiar relaţii de identitate.
Cuantorii subiectului sunt de două tipuri: universal şi particular. Primul este exprimat natural prin "toţi", "fiecare", "oricare" etc. (cu variantele negative "niciunul/una", "nicicare", "nicio"), iar al doilea prin "unii", "câţiva" etc. Calitatea predicatului (şi a propoziţiei) este redată prin verbe -- în general "a fi" şi "a avea".
Avem şi o formă particulară de exprimare a cuantorului universal, şi anume prin singularitatea subiectului: "acest (gogoman)", "Gigel", "pixul (meu)", "patru evanghelişti" etc. Dat fiind că aceşti cuantori vizează întreaga extensiune a subiectului (nu putem spune că "puţin Gigel" se duce la plajă), ei sunt consideraţi universali ("întregul Gigel", "toţi patru").
Date fiind cele spuse mai sus despre cantitate şi calitate, este limpede că avem patru tipuri de propoziţii categorice:
1. Cele cu subiect universal ("toţi mormolocii") şi predicat afirmativ ("sunt larve") -- propoziţii universal-afirmative.
2. Cele su subiect universal ("niciun castravete") şi predicat negativ ("nu este deltaplan") -- propoziţii universal-negative.
3. Cele su subiect particular ("unii pricolici") şi predicat afirmativ ("sunt melomani") -- propoziţii particular-afirmative.
4. Cele cu subiect particular ("unele vedete") şi predicat negativ ("sunt prostuţe") - propoziţii particular-negative.
O să discutăm mai încolo de cazurile particulare de formalizare pe care le întâlnim în limbajul natural. Deocamdată cred că am făcut destulă ceaţă, şi voi încerca să o risipesc.
În notaţie standard, avem un subiect S şi un predicat P, care pot intra în următoarele relaţii:
1. Propoziţia universal afirmativă -- relaţia între subiectul universal şi predicatul afirmativ simbolizată prin litera a -- (SaP) -- Toţi S sunt P.
Mai sus avem reprezentarea grafică acestei propoziţii cu ajutorul a două diagrame standard: Euler şi Venn. Diferenţele dintre ele sunt de mişcare şi spaţiu de extensiune. În varianta Euler sferele noţiunilor (cercurile din desen) ocupă poziţii diferite, în funcţie de raportul de ordonare sau încrucişare între noţiuni. În varianta Venn ele sunt stabile şi indică întregul spaţiu de extensiune (nu doar cel la care ne referim). Diagamele Venn par mai complicate, dar sunt mult mai avantajoase pentru scheme complexe, lucru care devine evident atunci când urmărim diagrama unui silogism. În diagramele Euler haşura reprezintă "spaţiul cu elemente". În diagramele Venn haşura reprezintă spaţiul fără elemente, cel cu elemente fiind reprezentat cu X. Bara orizontală de deasupra unei litere este negaţie.
În schemele de mai sus se observă ce înseamnă subiect universal şi predicat afirmativ. Pur şi simplu se afirmă ceva despre întreaga extensiune a lui S (despre toate elementele care au proprietatea de a fi S). Şi anume că posedă o proprietate sau, altfel spus, că fac parte din extensiunea lui P (mulţimea elementelor care posedă proprietatea respectivă -- deci care sunt P). Vedem în diagrama Euler că întreaga sferă S este inclusă în P. Semnificaţia diagramei Venn este următoarea: Dacă împărţim tot spaţiul de lucru (facem abstracţie de ce este în afara cercurilor) după cele două noţiuni, avem "S care nu sunt P" (stânga, haşurat), "S care sunt P" şi "non-S care sunt P" (sau "elemente care sunt P, dar nu sunt S"). Date fiind aceste indicaţii, putem "traduce" propoziţia noastră astfel: "Nu există elemente S care să nu fie P". Mulţimea elementelor S care nu sunt P este vidă, iar noi vorbim despre elementele S care sunt P, şi anume toate. Se observă că mai există un spaţiu, al elementelor P care nu sunt S, dar acesta nu este vizat de enunţul nostru, aşa că îl ignorăm, dat fiind că nu ştim nimic despre el! (Se prea poate ca raportul să fie de identitate, caz în care acest spaţiu este la fel de vid ca cel din stânga, dar propoziţia nu ne spune nimic în acest sens!)
Aşadar, propoziţia universală afirmativă ne spune că nu există S care să nu fie P, că tot ceea ce este S este şi P şi... atât! (Despre importanţa şi relevanţa acestor enunţuri vom vorbi în secţiunea dedicată raporturilor.)
2. Propoziţia universală negativă -- relaţia între subiectul universal şi predicatul negativ simbolizată prin litera e -- (SeP) -- Niciun S nu este P.
Cercurile din diagrama Euler pentru acest caz se fac tangente şi egale, dar asta nu semnifică nimic. În general, (în ambele tipuri de diagramă) nu ne interesează decât suprapunerea (acolo unde există) şi spaţiile rezultate din aceasta, nu şi mărimea lor. Nici faptul că reprezentarea se face prin cercuri nu trebuie să ne deruteze (şi să ne facă să tragem concluzii de cine ştie ce gen; bunăoară, că am putea deduce o informaţie din calculul unei suprafeţe!) -- am putea lucra foarte bine cu pătrate sau triunghiuri etc.
Propoziţia universală negativă ne spune că sfera (extensiunea) lui S nu are nicio legătură cu cea a lui P! (Cele două cercuri din diagrama Euler pot sta foarte bine în două colţuri opuse ale unei coli de hârtie.) Sau, în termenii noştri, că "nu există niciun element (cu proprietatea) S care să aibă proprietatea P". Haşura din spaţiul median al diagramei Venn ne indică faptul că acolo nu se găseşte niciun element S. Toate elementele S se află în spaţiul din stânga, marcat cu "X".
3. Propoziţia particulară afirmativă -- relaţia între subiectul particular şi predicatul afirmativ simbolizată prin litera i -- (SiP) -- Unii S sunt P.
Propoziţia particulară afirmativă ne spune că în suprapunerea celor două sfere există cel puţin un element. S-ar putea ca toate elementele S să se afle aici, dar nu putem cunoaşte cu certitudine acest lucru din enunţul dat. Ceea ce ştim este că "există cel puţin un S care este P".
4. Propoziţia particulară negativă -- relaţia între subiectul particular şi predicatul negativ simbolizată prin litera o -- (SoP) -- Unii S nu sunt P.
Propoziţia particulară negativă ne spune că în acea parte a sferei lui S care nu se suprapune cu sfera lui P avem cel puţin un element. Din nou există posibilitatea ca aici să cadă toate elementele S, dar nu putem şti cu certitudine acest lucru. Ştim doar că "există cel puţin un S care nu este P".
Se mai poate observa că:
a) propoziţiile universale ne transmit mai multe informaţii (spaţiul din diagramele Venn despre care putem spune ceva cu certitudine este mai mare decât în cazul particularelor); mai exact, ele ne transmit informaţii despre întreaga sferă a subiectului (care trebuie inclusă total sau exclusă total);
b) propoziţiile negative (sunt singurele care) ne transmit informaţii despre întreaga sferă a lui P; este adevărat, o fac indirect (trimiţând la ceea ce se află în afara ei), dar acest lucru este foarte util, după cum vom vedea ceva mai încolo, când vom vorbi despre distribuţie.
În particular putem avea probleme la formalizarea unei propoziţii de genul Numai unii S sunt P. Aceasta este o "particulară închisă" (spre deosebire de particulara afirmativă clasică, pe care o numim "deschisă" fiindcă nu putem şti niciodată cu siguranţă dacă extensiunea subiectului este vizată integral de cuantorul "unii"; există posibilitatea ca unul, şapte, o sută sau chiar toţi S să fie P!), deoarece exclude posibilitatea ca toţi S să fie P. (E clar că dacă vorbim doar despre o anumită parte există şi o altă parte, care nu întruneşte condiţia predicată.) Cum tratăm o astfel de propoziţie? Teoria spune că nu avem de-a face cu o propoziţie categorică în adevăratul înţeles al cuvântului, deoarece se face trimitere la trei extensiuni (P, S care sunt P şi S care nu sunt P), deci nu poate fi formalizată decât compus, prin conjuncţia dintre "Unii S sunt P" şi "Unii S nu sunt P". Practic însă putem alege oricare dintre termenii conjuncţiei pentru a ne continua raţionamentul (conjuncţia este adevărată, deci fiecare termen este adevărat; problema, în acest caz, este aceea că fiecare spune altceva -- avem două trimiteri la două părţi distincte din extensiunea lui S!). În acest caz trebuie să avem însă în vedere că procedăm accidental, aşa că nu ar trebui să ne mirăm dacă, ulterior, printr-un polisilogism, ajungem la o concluzie contrară propoziţiei iniţiale (să zicem "Niciun S nu este P"). Totuşi, am făcut această menţiune deoarece putem regăsi în limbaj natural situaţii în care afirmaţia "Numai unii S sunt P" trimite la "Unii S nu sunt P". (De exemplu, dacă într-o discuţie unul dintre interlocutori foloseşte ca interschimbabili termenii "arab" şi "musulman", un altul îi poate atrage atenţia că "Numai unii musulmani sunt arabi", vrând să spună prin asta că "Nu toţi musulmanii sunt arabi" sau, în termenii porpoziţiilor categorice, că "Unii musulmani nu sunt arabi"! Aici avem de-a face cu o subtilitate logică-lingvistică, legată de tăria negaţiei -- în anumite circumstanţe prin negaţie putem obţine un efect retorico-persuasiv mai puternic decât printr-o afirmaţie echivalentă. În cazul nostru, dacă interlocutorul respectiv ar fi spus "Unii musulmani sunt arabi" efectul corectiv nu ar fi fost acelaşi, întrucât nu ar fi ieşit în evidenţă sfera lui S care nu se suprapune cu sfera lui P -- musulmanii care nu sunt arabi.) Particulara închisă de acest tip trebuie tratată cu atenţie şi este recomandabil să nu se încerce "deschiderea forţată" (prin adoptarea unuia sau a altuia dintre termenii conjuncţiei de mai sus) pentru desfăşurarea unui silogism.
O altă variantă de particulară închisă este "Numai S sunt P". Diferenţa faţă de cea de mai sus constă în afectarea directă a subiectului de către cuantor. "Numai S" referă indirect la "toţi S", prin opoziţie cu tot ceea ce "nu este S". Atenţie însă -- acest raport nu este unul de identitate! Când spunem că "numai S sunt P" spunem, de fapt, că nu poate fi ceva care nu este S şi este P! Asta nu înseamnă că nu pot exista S care nu sunt P. Aşadar, adusă în propoziţie standard propoziţia arată astfel: "Toţi P sunt S". Ne putem da seama mai uşor de acest lucru cu ajutorul unei propoziţii concrete în limbaj natural: Dacă spunem (considerăm adevărat) că "Numai oltenii abuzează de perfectul simplu" nu înseamnă că "Toţi oltenii abuzează de perfectul simplu", ci că "Toţi cei care abuzează de perfectul simplu sunt olteni".
Varianta negativă, Numai S nu sunt P se reduce la a spune că "Tot ceea ce nu este P este S", şi se rezolvă simplu prin obversiune, dar nu am ajuns încă acolo, aşa că vom proceda tot "băbeşte" pentru a scoate în evidenţă adevărul propoziţiei categorice standard. Aşadar, dacă spun "Numai lebedele nu cântă/sunt păsări cântătoare", afirm că, dacă o pasăre nu cântă, atunci este lebădă. Deci, în formulă standard de propoziţie categorică, spun "Toate păsările care nu cântă sunt lebede".
Alte cazuri particulare se leagă de expresiile calificate şi de singularitate. Numesc expresie calificată un termen de genul "4 raţe", doi cocoşi" etc. (care se mai numeşte şi "individual-colectiv"). De exemplu, atunci când spun "Numai 3 evanghelii sunt sinoptice" sau "Patru jucători au primit cartonaş galben" se cheamă că enunţ particulare închise calificate, deci forma standard de propoziţie categorică va fi "Toate evangheliile sinoptice sunt 3", respectiv "Toţi jucătorii care au primit cartonaş galben sunt 4". (Nu trebuie să ne lăsăm derutaţi de "toţi" şi "toate" din acest caz -- este doar o convenţie pentru aducerea la forma standard.) Aceste judecăţi pot crea confuzii, aşa că trebuie să ţinem întotdeauna cont de clauza "în acelaşi timp şi sub acelaşi aspect", esenţială pentru stabilirea unei noţiuni logice. Trebuie aşadar să avem în vedere cadrul în care se face afirmaţia (meciul cutare, Biblia), nu să extindem judecata pentru orice evanghelie (din afara Bibliei) şi orice cartonaş pe care-l primeşte un jucător într-un campionat.
Mai sunt anumite lucruri înceţoşate, dar (sper că) se vor lămuri în episoadele următoare, despre raporturile dintre propoziţii categorice şi despre inferenţele imediate cu propoziţii categorice.
Sunt cele mai simple propoziţii logice, care ne spun ceva despre două şi numai două noţiuni, dintre care una este subiect logic iar cealaltă este predicat logic. Avem de-a face doar cu sferele -- sau extensiunile -- celor două noţiuni puse în relaţie, iar valoarea de adevăr este atribuită doar acestei relaţii şi nu poate varia în funcţie de relaţii complexe de alte ordine în care este pusă relaţia noastră mai apoi (motiv pentru care numim astfel de propoziţii -- relaţii -- "categorice").
Una dintre noţiuni joacă rol de subiect (logic) iar cealaltă de predicat (logic), motiv pentru care propoziţiei care exprimă relaţia i se mai spune şi "de predicaţie". (Propoziţii în care ni se spune -- predică, în sens primar, laic, adică tocmai de a afirma despre -- ceva despre un lucru. Că este alb, bun, subţire, patruped etc.)
Modul formal în care operează predicaţia este cât se poate de simplu: predicatul ne spune ceva despre intensiunea (conţinutul) noţiunii-subiect printr-un raport al extensiunilor (sferelor) celor două noţiuni. Altfel spus, predicatul nu este o proprietate, ci o noţiune în a cărei sferă intră toate lucrurile care au proprietatea respectivă ("lucruri albe", "corpuri care au o anumită greutate" etc.) Este important să se înţeleagă acest lucru, pentru că expresia naturală de predicaţie poate fi derutantă, mai ales atunci când avem de-a face cu forme negative sau subiecte particulare.
Relaţia dintre noţiuni poate fi considerată sub două aspecte: cantitativ şi calitativ. Altfel spus, cât din extensiune (întreg, parte sau nimic) intră în relaţie şi cum (pozitiv sau negativ -- este sau nu este). Primul aspect caracterizează subiectul logic iar al doilea ţine de predicat. Totuşi, putem vorbi de o calitate a subiectului (aceea de a fi -- pe de-a-ntregul, în parte sau deloc) şi de o cantitate a predicatului, totdeauna aceeaşi, şi anume sfera tuturor obiectelor care au proprietatea predicată de el. Calitatea subiectului şi cantitatea predicatului nu au legătură cu calitatea şi cantitatea propoziţiei. Prin inversare ajungem însă la o afirmaţie valabilă: cantitatea subiectului are legătură cu a propoziţiei, iar calitatea predicatului are legătură cu cea a propoziţiei, acestea fiind chiar relaţii de identitate.
Cuantorii subiectului sunt de două tipuri: universal şi particular. Primul este exprimat natural prin "toţi", "fiecare", "oricare" etc. (cu variantele negative "niciunul/una", "nicicare", "nicio"), iar al doilea prin "unii", "câţiva" etc. Calitatea predicatului (şi a propoziţiei) este redată prin verbe -- în general "a fi" şi "a avea".
Avem şi o formă particulară de exprimare a cuantorului universal, şi anume prin singularitatea subiectului: "acest (gogoman)", "Gigel", "pixul (meu)", "patru evanghelişti" etc. Dat fiind că aceşti cuantori vizează întreaga extensiune a subiectului (nu putem spune că "puţin Gigel" se duce la plajă), ei sunt consideraţi universali ("întregul Gigel", "toţi patru").
Date fiind cele spuse mai sus despre cantitate şi calitate, este limpede că avem patru tipuri de propoziţii categorice:
1. Cele cu subiect universal ("toţi mormolocii") şi predicat afirmativ ("sunt larve") -- propoziţii universal-afirmative.
2. Cele su subiect universal ("niciun castravete") şi predicat negativ ("nu este deltaplan") -- propoziţii universal-negative.
3. Cele su subiect particular ("unii pricolici") şi predicat afirmativ ("sunt melomani") -- propoziţii particular-afirmative.
4. Cele cu subiect particular ("unele vedete") şi predicat negativ ("sunt prostuţe") - propoziţii particular-negative.
O să discutăm mai încolo de cazurile particulare de formalizare pe care le întâlnim în limbajul natural. Deocamdată cred că am făcut destulă ceaţă, şi voi încerca să o risipesc.
În notaţie standard, avem un subiect S şi un predicat P, care pot intra în următoarele relaţii:
1. Propoziţia universal afirmativă -- relaţia între subiectul universal şi predicatul afirmativ simbolizată prin litera a -- (SaP) -- Toţi S sunt P.
Mai sus avem reprezentarea grafică acestei propoziţii cu ajutorul a două diagrame standard: Euler şi Venn. Diferenţele dintre ele sunt de mişcare şi spaţiu de extensiune. În varianta Euler sferele noţiunilor (cercurile din desen) ocupă poziţii diferite, în funcţie de raportul de ordonare sau încrucişare între noţiuni. În varianta Venn ele sunt stabile şi indică întregul spaţiu de extensiune (nu doar cel la care ne referim). Diagamele Venn par mai complicate, dar sunt mult mai avantajoase pentru scheme complexe, lucru care devine evident atunci când urmărim diagrama unui silogism. În diagramele Euler haşura reprezintă "spaţiul cu elemente". În diagramele Venn haşura reprezintă spaţiul fără elemente, cel cu elemente fiind reprezentat cu X. Bara orizontală de deasupra unei litere este negaţie.
În schemele de mai sus se observă ce înseamnă subiect universal şi predicat afirmativ. Pur şi simplu se afirmă ceva despre întreaga extensiune a lui S (despre toate elementele care au proprietatea de a fi S). Şi anume că posedă o proprietate sau, altfel spus, că fac parte din extensiunea lui P (mulţimea elementelor care posedă proprietatea respectivă -- deci care sunt P). Vedem în diagrama Euler că întreaga sferă S este inclusă în P. Semnificaţia diagramei Venn este următoarea: Dacă împărţim tot spaţiul de lucru (facem abstracţie de ce este în afara cercurilor) după cele două noţiuni, avem "S care nu sunt P" (stânga, haşurat), "S care sunt P" şi "non-S care sunt P" (sau "elemente care sunt P, dar nu sunt S"). Date fiind aceste indicaţii, putem "traduce" propoziţia noastră astfel: "Nu există elemente S care să nu fie P". Mulţimea elementelor S care nu sunt P este vidă, iar noi vorbim despre elementele S care sunt P, şi anume toate. Se observă că mai există un spaţiu, al elementelor P care nu sunt S, dar acesta nu este vizat de enunţul nostru, aşa că îl ignorăm, dat fiind că nu ştim nimic despre el! (Se prea poate ca raportul să fie de identitate, caz în care acest spaţiu este la fel de vid ca cel din stânga, dar propoziţia nu ne spune nimic în acest sens!)
Aşadar, propoziţia universală afirmativă ne spune că nu există S care să nu fie P, că tot ceea ce este S este şi P şi... atât! (Despre importanţa şi relevanţa acestor enunţuri vom vorbi în secţiunea dedicată raporturilor.)
2. Propoziţia universală negativă -- relaţia între subiectul universal şi predicatul negativ simbolizată prin litera e -- (SeP) -- Niciun S nu este P.
Cercurile din diagrama Euler pentru acest caz se fac tangente şi egale, dar asta nu semnifică nimic. În general, (în ambele tipuri de diagramă) nu ne interesează decât suprapunerea (acolo unde există) şi spaţiile rezultate din aceasta, nu şi mărimea lor. Nici faptul că reprezentarea se face prin cercuri nu trebuie să ne deruteze (şi să ne facă să tragem concluzii de cine ştie ce gen; bunăoară, că am putea deduce o informaţie din calculul unei suprafeţe!) -- am putea lucra foarte bine cu pătrate sau triunghiuri etc.
Propoziţia universală negativă ne spune că sfera (extensiunea) lui S nu are nicio legătură cu cea a lui P! (Cele două cercuri din diagrama Euler pot sta foarte bine în două colţuri opuse ale unei coli de hârtie.) Sau, în termenii noştri, că "nu există niciun element (cu proprietatea) S care să aibă proprietatea P". Haşura din spaţiul median al diagramei Venn ne indică faptul că acolo nu se găseşte niciun element S. Toate elementele S se află în spaţiul din stânga, marcat cu "X".
3. Propoziţia particulară afirmativă -- relaţia între subiectul particular şi predicatul afirmativ simbolizată prin litera i -- (SiP) -- Unii S sunt P.
Propoziţia particulară afirmativă ne spune că în suprapunerea celor două sfere există cel puţin un element. S-ar putea ca toate elementele S să se afle aici, dar nu putem cunoaşte cu certitudine acest lucru din enunţul dat. Ceea ce ştim este că "există cel puţin un S care este P".
4. Propoziţia particulară negativă -- relaţia între subiectul particular şi predicatul negativ simbolizată prin litera o -- (SoP) -- Unii S nu sunt P.
Propoziţia particulară negativă ne spune că în acea parte a sferei lui S care nu se suprapune cu sfera lui P avem cel puţin un element. Din nou există posibilitatea ca aici să cadă toate elementele S, dar nu putem şti cu certitudine acest lucru. Ştim doar că "există cel puţin un S care nu este P".
Se mai poate observa că:
a) propoziţiile universale ne transmit mai multe informaţii (spaţiul din diagramele Venn despre care putem spune ceva cu certitudine este mai mare decât în cazul particularelor); mai exact, ele ne transmit informaţii despre întreaga sferă a subiectului (care trebuie inclusă total sau exclusă total);
b) propoziţiile negative (sunt singurele care) ne transmit informaţii despre întreaga sferă a lui P; este adevărat, o fac indirect (trimiţând la ceea ce se află în afara ei), dar acest lucru este foarte util, după cum vom vedea ceva mai încolo, când vom vorbi despre distribuţie.
În particular putem avea probleme la formalizarea unei propoziţii de genul Numai unii S sunt P. Aceasta este o "particulară închisă" (spre deosebire de particulara afirmativă clasică, pe care o numim "deschisă" fiindcă nu putem şti niciodată cu siguranţă dacă extensiunea subiectului este vizată integral de cuantorul "unii"; există posibilitatea ca unul, şapte, o sută sau chiar toţi S să fie P!), deoarece exclude posibilitatea ca toţi S să fie P. (E clar că dacă vorbim doar despre o anumită parte există şi o altă parte, care nu întruneşte condiţia predicată.) Cum tratăm o astfel de propoziţie? Teoria spune că nu avem de-a face cu o propoziţie categorică în adevăratul înţeles al cuvântului, deoarece se face trimitere la trei extensiuni (P, S care sunt P şi S care nu sunt P), deci nu poate fi formalizată decât compus, prin conjuncţia dintre "Unii S sunt P" şi "Unii S nu sunt P". Practic însă putem alege oricare dintre termenii conjuncţiei pentru a ne continua raţionamentul (conjuncţia este adevărată, deci fiecare termen este adevărat; problema, în acest caz, este aceea că fiecare spune altceva -- avem două trimiteri la două părţi distincte din extensiunea lui S!). În acest caz trebuie să avem însă în vedere că procedăm accidental, aşa că nu ar trebui să ne mirăm dacă, ulterior, printr-un polisilogism, ajungem la o concluzie contrară propoziţiei iniţiale (să zicem "Niciun S nu este P"). Totuşi, am făcut această menţiune deoarece putem regăsi în limbaj natural situaţii în care afirmaţia "Numai unii S sunt P" trimite la "Unii S nu sunt P". (De exemplu, dacă într-o discuţie unul dintre interlocutori foloseşte ca interschimbabili termenii "arab" şi "musulman", un altul îi poate atrage atenţia că "Numai unii musulmani sunt arabi", vrând să spună prin asta că "Nu toţi musulmanii sunt arabi" sau, în termenii porpoziţiilor categorice, că "Unii musulmani nu sunt arabi"! Aici avem de-a face cu o subtilitate logică-lingvistică, legată de tăria negaţiei -- în anumite circumstanţe prin negaţie putem obţine un efect retorico-persuasiv mai puternic decât printr-o afirmaţie echivalentă. În cazul nostru, dacă interlocutorul respectiv ar fi spus "Unii musulmani sunt arabi" efectul corectiv nu ar fi fost acelaşi, întrucât nu ar fi ieşit în evidenţă sfera lui S care nu se suprapune cu sfera lui P -- musulmanii care nu sunt arabi.) Particulara închisă de acest tip trebuie tratată cu atenţie şi este recomandabil să nu se încerce "deschiderea forţată" (prin adoptarea unuia sau a altuia dintre termenii conjuncţiei de mai sus) pentru desfăşurarea unui silogism.
O altă variantă de particulară închisă este "Numai S sunt P". Diferenţa faţă de cea de mai sus constă în afectarea directă a subiectului de către cuantor. "Numai S" referă indirect la "toţi S", prin opoziţie cu tot ceea ce "nu este S". Atenţie însă -- acest raport nu este unul de identitate! Când spunem că "numai S sunt P" spunem, de fapt, că nu poate fi ceva care nu este S şi este P! Asta nu înseamnă că nu pot exista S care nu sunt P. Aşadar, adusă în propoziţie standard propoziţia arată astfel: "Toţi P sunt S". Ne putem da seama mai uşor de acest lucru cu ajutorul unei propoziţii concrete în limbaj natural: Dacă spunem (considerăm adevărat) că "Numai oltenii abuzează de perfectul simplu" nu înseamnă că "Toţi oltenii abuzează de perfectul simplu", ci că "Toţi cei care abuzează de perfectul simplu sunt olteni".
Varianta negativă, Numai S nu sunt P se reduce la a spune că "Tot ceea ce nu este P este S", şi se rezolvă simplu prin obversiune, dar nu am ajuns încă acolo, aşa că vom proceda tot "băbeşte" pentru a scoate în evidenţă adevărul propoziţiei categorice standard. Aşadar, dacă spun "Numai lebedele nu cântă/sunt păsări cântătoare", afirm că, dacă o pasăre nu cântă, atunci este lebădă. Deci, în formulă standard de propoziţie categorică, spun "Toate păsările care nu cântă sunt lebede".
Alte cazuri particulare se leagă de expresiile calificate şi de singularitate. Numesc expresie calificată un termen de genul "4 raţe", doi cocoşi" etc. (care se mai numeşte şi "individual-colectiv"). De exemplu, atunci când spun "Numai 3 evanghelii sunt sinoptice" sau "Patru jucători au primit cartonaş galben" se cheamă că enunţ particulare închise calificate, deci forma standard de propoziţie categorică va fi "Toate evangheliile sinoptice sunt 3", respectiv "Toţi jucătorii care au primit cartonaş galben sunt 4". (Nu trebuie să ne lăsăm derutaţi de "toţi" şi "toate" din acest caz -- este doar o convenţie pentru aducerea la forma standard.) Aceste judecăţi pot crea confuzii, aşa că trebuie să ţinem întotdeauna cont de clauza "în acelaşi timp şi sub acelaşi aspect", esenţială pentru stabilirea unei noţiuni logice. Trebuie aşadar să avem în vedere cadrul în care se face afirmaţia (meciul cutare, Biblia), nu să extindem judecata pentru orice evanghelie (din afara Bibliei) şi orice cartonaş pe care-l primeşte un jucător într-un campionat.
Mai sunt anumite lucruri înceţoşate, dar (sper că) se vor lămuri în episoadele următoare, despre raporturile dintre propoziţii categorice şi despre inferenţele imediate cu propoziţii categorice.
Ultimele comentarii
Sat, 04.09.2010 22:11
Da-mi si mie adresa. Poate reu sesc sa o pacalesc. :devil:
Fri, 20.08.2010 22:04
Asta da informaţie de dat la ş tiri: de când omenirea a [...]
Fri, 20.08.2010 20:01
de aici, eu înţeleg că isus er a cineva care vorbea cam [...]
Wed, 18.08.2010 08:23
Da' di ce maică, ţi-a mâncat p isica telefonu'?
Wed, 18.08.2010 08:15
dacă-i la mine-n teren, mă înt reb ce aş putea face să [...]